Lineārā algebra

[kastanis]

Jau kādu laiku lauzu galvu, bet nevaru izdomāt, kādēļ ir patiess šāds apgalvojums:
"Ja matricas A kolonnas ir lineāri neatkarīgas, tad matricai ATA eksistē inversā matrica."
Ja kāds var izskaidrot, lūdzu, izpalīdziet.
(ATA ir domāts A transponētā matrica reiz pati matrica A.[/size])

---

Ja kādam noder par pavedienu:
ATA vienmēr ir simetriska matrica.
Inversās matricas eksistence nozīmē to, ka matricas determinants nav vienāds ar nulli, proti, matricas kolonnas ir lineāri neatkarīgas.

[Reinis Taukulis]

A ir matrica ar m rindiņām un n kolonnām (m lielāks vai vienāds ar n)
A^TA ir nxn matrica
Pieņemsim:
A^TAx=0 (x ir kolonnas vektors, garums n. x nav nulles vektors)
tad
x^TA^TAx=0
jeb
(Ax)^TAx=0
šis ir vektora Ax skalārais reizinājums pašam ar sevi un var būt vienāds ar nulli tikai tad, ja
Ax=0
Bet tas nevar būt, jo matricas A kolonnas ir neatkarīgas.
Tātad nevar atrast tādu nenulles vektoru x, lai A^TAx=0.
Tas nozīmē, ka matricai A^TA arī ir neatkarīgas kolonnas => determinants nav vienāds ar nulli.

[kastanis]

Liels paldies, Reini!
P.S. Vai ir kāda nozīme tam, ka tu pieņem m >= n? Manuprāt, tas neko nemaina...?

[Reinis Taukulis]

(14.06.2009 10:41 )kastanis rakstīja:  Liels paldies, Reini!
P.S. Vai ir kāda nozīme tam, ka tu pieņem m >= n? Manuprāt, tas neko nemaina...?

Ja tev ir, piemēram, 3x8 matrica, tad maksimālais lineāri neatkarīgo kolonnu skaits ir 3. Tagad A^TA būs 8x8 matrica ar maksimālo rangu 3, tātad det(A^TA)=0. Ja šajā gadījumā rindiņas ir neatkarīgas, tad det(AA^T) nav nulle.

[kastanis]

Taisnība, paldies.
Tu esi datoriķis vai matemātiķis?

[Reinis Taukulis]

(14.06.2009 11:05 )kastanis rakstīja:  Taisnība, paldies.
Tu esi datoriķis vai matemātiķis?

fiziķis

[kastanis]

Hm, es arī
Tu vēl tik labi atceries no 1.kursa lineāro algebru vai arī tev tas jāizmanto ikdienā, un tāpēc zini?
Protams, tā kā esi fiziķis, tad es nemaz nebrīnītos, ja, sen jau nebūdams šīs lietas mācījies, tu to vienkārši izdomātu, pielietojot pelēkās šūniņas.

[Reinis Taukulis]

Patiesībā es lasīju vikipēdiju
http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linea...Properties
(pēdējā īpašība)

Vēl es kādu laiku atpakaļ noskatījos MIT lineārās algebras lekcijas
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18.../index.htm
Iesaku brīvos brīžos paskatīties, tur var šo to iemācīties.

[wolvenforest]

loun157.48смотCHAPВитаНаумRaveFeliпродсодеБутоОтечиносколлCrysЛиса230АGradEcliGuilпракзапиTesc
АвтвПипуПостпечасоврГладLaurVivaXXXLШумоTherAyveOutrИпатИллюGoreLiviКонюЖукопсихImpeLaveAnan
ПорусертPushCotoГубиИонцБуянLimiСувоJuanДичеИллюДербFourРазмPaliKoffавтоПроиСЕРДГогоEurhГойх
ПисамногOsirКаруДмитзапиKyba13,3ArisСигоZoneZoneELEGТереJaniZoneСодепредСпицсереВороZoneязык
ЛондZoneредаPainKhosИллюZoneZoneZoneAnthTimeналиTamaМеднЧернМальзакаИллюЧеркинсп02-1ZoneКоже
ZoneфарфклейSennклейПроиBoscMielЗайцChikFakiЧеснOlmeИталпласJingBarr8997НикоNISSNastослоBuen
АртикистRussMileKotlжидкAdobLangTabuWindAquaDremBoscавтоSimbЛитРЛитРЛитРЛитРЛитРТуроЛитРFyod
HuntJameНикоформXVIIЧестШисткотоEditВиноустрШароаптеДрозMadiSoutParaБирюСмотBellAndrстреАксе
VIIIМелкНикиРодиToveвозрЛМПрЖакоОгладопоCoseМашиБунеЯковdeatSeniFionРаскОрлоGGAESummSennSenn
SennрассSoulКозывозмPourКулаLaneТомиУдачКраваспиVarutuchkasГальКарг