Ir sācies jauns mēnesis, kas nozīmē, ka ir laiks arī jaunai mēneša konstantei – šoreiz skaitlim 6174.

Skaitlis 6174 ir pazīstams kā Kaprekara konstante, kurš savu nosaukumu ieguvis, pateicoties matemātiķim D. R. Kaprekaram no Indijas, kurš šī skaitļa mīklainās īpašības atklāja 1949. gadā.

Šī nav konstante, ar kuru matemātiķi, fiziķi vai citas zinātnes pārstāvji ikdienā regulāri saskartos, tomēr tas noteikti ir izceļams starp pārējiem skaitļiem. Kāpēc? Aplūkosim, kāda interesanta īpašība šim skaitlim piemīt.

1. Paņemam jebkuru četrciparu skaitli, kuram ir vismaz divi viens no otra atšķirīgi cipari (pirmajiem cipariem ir ļauts būt nullēm);
2. sakārtojam šī skaitļa ciparus augošā un tad dilstošā secībā, iegūstot divus (vai vismaz vienu) jaunus četrciparu skaitļus (ja kāds no iegūtajiem skaitļiem nav četrciparu, pievienojam priekšā nepieciešamo skaitu nuļļu);
3. atņemam no lielākā iegūtā skaitļa mazāko;
4. atkārtojam 2. soli.

Šīs četras darbības ir pazīstamas ar nosaukumu Kaprekara rutīna jeb Kaprekara operācija, ar kuras palīdzību maksimums septiņās iterācijās rezultātā vienmēr tiek iegūts skaitlis 6174, turklāt, tiklīdz tas notiek, citu rezultātu ar šo operāciju vairs nav iespējams iegūt (7641-1467=6174).

Aplūkosim piemēru ar skaitli 3524 un veicam visus soļus:
5432 – 2345 = 3087
8730 – 0378 = 8352
8532 – 2358 = 6174.

Kā redzam, ir iegūts skaitlis 6174. Tomēr, kā izrādās, īpašība tomēr neizpildās pilnīgi visiem četrciparu skaitļiem, lai gan vienīgie izņēmumi ir tie, kuriem visi cipari ir savā starpā vienādi, kas, protams, jau pēc 3. soļa dod rezultātu 0. Visiem citiem četrciparu skaitļiem gan tas izpildās, ja, kā iepriekš minēts, skaitlim priekšā nepieciešamības gadījumā tiek pievienotas nulles, lai saglabātu nepieciešamo ciparu skaitu 4.

Ievērojam, ka katrā Kaprekara rutīnas iterācijā divi skaitļi, kas tiek atņemti viens no otra, dod vienmēr vienādu atlikumu, dalot ar 9. Tāpēc katras Kaprekara rutīnas iterācijas rezultāts dalās ar 9.

Skaitlis 495 ir ekvivalenta konstante trīsciparu skaitļiem. Piecciparu un vairāk-ciparu skaitļiem šādas konstantes nav, jo katram skaitļa garumam operācija beidzas pie vienas no vairākām fiksētām vērtībām vai arī sāk mest cilpas.

Vēl divi indiešu matemātiķi Maniks Srinivasans (Manick Srinivasan) un Ramkumars Ramamūrtijs (Ramkumar Ramamoorthy) ir papildinājuši Kaprekara atklājumu, ar datoru veicot aprēķinu, cik iterācijas ir nepieciešamas cik četrciparu skaitļiem. Iespējams, ka šo apgalvojumu vieglāk izprast ar tabulas palīdzību

Iterācijas	1	2	3	4	5	6	7
Četrciparu skaitļu skaits	357	519	2124	1124	1379	1508	1980

Tiesa, šie aprēķini veikti tikai “īstajiem” četrciparu skaitļiem, t.i., tiem, kuriem priekšā nav pievienotas nulles, kā arī, protams, neskaitot tos četrciparu skaitļus, kam Kaprekara operācija neizpildās (1111,...,9999), tātad kopā 8991 skaitlim.

Bet padomāsim par to, vai tiešām rezultāts Kaprekara operācijai vienmēr ir tieši 6174.

Jebkuram četrciparu skaitlim, sakārtojot tā ciparus augošā secībā, tiek iegūts mazākais skaitlis no šiem cipariem, un, sakārtojot tā ciparus dilstošā secībā, attiecīgi – lielākais. Tātad četriem cipariem a, b, c, d, kur 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 un a, b, c, d visi nav viens un tas pats cipars, lielākais skaitlis ir abcd un mazākais – dcba.

Veicot Kaprekara operāciju, varam atņemšanu uzrakstīt kolonnas formā:
abcd
- dcba
ABCD ,

no kā iegūstam attiecības

D = 10 + d - a (jo a > d)
C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (jo b > c - 1)
B = b - 1 - c (jo b > c)
A = a - d.

Ja rezultātu ABCD var izteikt ar sākotnējām a, b, c, d vērtībām, tad skaitlis Kaprekara rutīnā atkārtosies viens un tas pats. Tātad mēs varam atrast Kaprekara rutīnas atrisinājumu, apskatot visas {a,b,c,d} iespējamās kombinācijas un pārbaudot, vai tie atbilst augstāk norādītajām attiecībām. Katra no 4!=24 kombinācijām dod mums vienādojumu sistēmu ar 4 vienādojumiem un 4 nezināmajiem, tātad nav nekādu problēmu šo sistēmu atrisināt.

Izrādās, ka tikai vienai no šīm kombinācijām ir atrisinājums veselos skaitļos, kas turklāt apmierina 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Šī kombinacija ir ABCD=bdac, kur a=7, b=6, c=4 un d=1. Tātad ABCD=6174. Nav citu līdzvērtīgu derīgu vienādojuma atrisinājumu, ko varētu iegūt no {a,b,c,d}. Tāpēc skaitlis 6174 ir vienīgais, kas nemainās Kaprekara rutīnā.

Interesanti, ka skaitlis ieguvis tādu popularitāti, ka daudzi interesenti veic ne tikai papildus aprēķinus vai cenšas to atrast “dabā”, bet ir pat izveidojušu speciālu Kaprekara rutīnas kalkulatoru, ar kura palīdzību katrs var pārbaudīt, vai augstāk minētās īpašības tiešām ir spēkā visiem četrciparu skaitļiem.

Avots: en.wikipedia.org, http://plus.maths.org, www.mathematische-basteleien.de